Trabajo conjunto con Eustasio del Barrio. Artículo publicado en Statistics and Probability Letters, vol. 79(2), p. 188-195, enero de 2009. Descargar una version en pdf.

En este artículo, damos resultados de convergencia débil de integrales múltiples con respecto al proceso empírico. Consideramos objetos de tipo
$$J_{n,m}(h)=\int’h(x_1, \dots, x_m)d\mathbb{G}_n(x_1)\dots \mathbb{G}_n(x_m),$$
donde $$h$$ es una función real simétrica, de cuadrado integrable, de m variables. $$X_1, \dots, X_n$$ es una muestra i.i.d. de distribución $$P$$ y $$\mathbb{P}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{X_i}$$ y $$\mathbb{G}_n=\sqrt{n}(\mathbb{P}_n-P)$$ son respectivamente la medida empírica asociada y el proceso empírico. $$\int’$$ es la integral fuera de la diagonal. Incluimos el caso de los núcleos no degenerados con respecto a la distribución subyacente. Nuestros resultados están relacionados con resultados anteriores sobre U-estadísticos. Introducimos una integral estocástica con respecto al puente Browniano que permite expresar el límite de manera unificada independientemente de la degeneración del núcleo. El uso de la integral múltiple con respecto al proceso empírico tiene una gran ventaja con respecto al uso de U-estadísticos: el Teorema Central del Límite obtenido es más simple. No pide la degeneración del núcleo y el límite se expresa de una manera precisa.

Tesis bajo la dirección de Eustasio del Barrio y Fabrice Gamboa, defendida el 16 de julio de 2007 en Valladolid, ante el tribunal compuesto por los Profesores Jean-Marc Azaïs, Bernard Bercu, Eustasio del Barrio, Fabrice Gamboa y Carlos Matrán.
Esta trabajo se compone de tres ejes principales. Tras una introducción general, estudiamos unas propiedades asintóticas de las integrales múltiples con respecto al proceso empírico. La segunda parte está dedicada al estudio de la eficiencia asintótica del test de Wasserstein. La equivalencia del test de Wasserstein con una integral doble con respecto al proceso empírico hace posible el uso de los resultados de la primera parte. Un estudio de simulación completa el estudio de la potencia asintótica. La tercera parte trata las grandes desviaciones de los L-estadísticos. Obtenemos un principio de grandes desviaciones usando la topología de la distancia de Wasserstein en el espacio de las medidas de probabilidad, bajo condiciones de extremos.