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Teoremas centrales del límite funcionales para sondeos

H. Boistard, H.P. Lopuhaä y A. Ruiz-Gazen,

artículo publicado en Annals of Statistics, vol. 45, n. 4, p. 1728-1758, 2017.

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Para una inferencia junta basada en el modelo y el diseño, establecimos teoremas centrales del límite funcionales para el proceso de Horvitz-Thompson y el proceso de Hájek centrados por su valor esperado poblacional así que bajo el modelo de super populación, en el contexto de los sondeos. Estos resultados se aplican a diseños de sondeos genéricos y sólo requieren condiciones sobre correlaciones de ciertos órdenes superiores. Aplicamos nuestros resultados principales a un funcional estadístico diferenciable en el sentido de Hadamard e ilustramos su comportamiento límite a través de una simulación.

Aproximación de probabilidades de inclusión en el muestreo reyectivo con aplicaciones a correlaciones de orden superior

H. Boistard, H.P. Lopuhaä y A. Ruiz-Gazen,

Artículo publicado en Electronic Journal of Statistics, vol. 6, p. 1967–1983, 2012.
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Este artículo trata del muestro reyectivo. Proveemos una expansión de las probabilidades de inclusión conjuntas para órdenes cualquieras en términos de probabilidades de inclusión de orden uno, extendiendo resultados previons por Hájek (1964) y Hájek (1981) y haciendo que el término de resto sea más preciso. A partir de las ideas de Hájek (1981), la prueba está basada en expansions de Edgeworth. El principal resultado se aplica para derivar cotas sobre las correlaciones de orden superior que se necesitan para la consistencia y normalidad asintótica de unos estimadores complejos.

Comportamiento en grandes muestras de algunos estimadores robustos en larga memoria

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu y V. A. Reisen.

Artículo publicado en Statistics, vol. 45, n. 1, p. 59–71, 2011.
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Este artículo trata de los estimadores de localización y escala en larga memoria, enfocándose en el estimador de localización de Hodges-Lehmann, el estimador de escala de Shamos-Bickel y el estimador de escala de Rousseeux-Croux. Repasamos las propiedades de estos estimadores para tamaño muestral grande. El artículo incluye simulaciones numéricas para examinar las performancias de los estimadores para muestras finitas.

Estimación robusta de la escala y de la función de autocovarianza de procesos gaussianos en corta y larga memoria

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu y V. A. Reisen.

Artículo publicado en Journal of Time Series Analysis, vol. 32, n. 2, p. 135-156, 2011. Descargar una versión del artículo.

Una propiedad deseable de un estimador de autocovarianza es la robustez a la presencia de datos atípicos aditivos. Es conocido que la autocovarianza muestral, por estar basada en momentos, no tiene esta propiedad. Por tanto, el uso de un estimador de autocovarianza que sea robusto a los datos atípicos aditivos puede ser muy útil para la modelisación de series temporales. En este artículo, las propiedades asintóticas de la escala robusta y de unos estimadores de autocovarianza propuestos en Rousseeuw y Croux (1993) y Ma y Genton (2000) se establecen para procesos Gaussianos en el marco de la dependencia corta y larga. Se muestra que en el marco de la dependencia cortz, el estimador robusto es asintóticamente normal con tasa $$\sqrt{n}$$, donde n es el número de observaciones. Una expresión explícita de la varianza asintótica es dada también y comparada con la varianza asintótica del estimador de autocovarianza clásico. En el marco de la dependencia larga, la distribución límite tiene el mismo comportamiento que el estimador de autocovarianza clásico con un límite Gaussiano y la tasa $$\sqrt{n}$$ cuando el parámetro de Hurst parameter H es inferior a 3/4 y con un límite no Gaussiano perteneciendo al segundo caos de Wiener con tasa dependiendo del parámetro de Hurst cuando $$H\in (3/4, 1)$$. Unos experimentos de Monte Carlo ilustran las proposiciones y los datos del río Nilo son analizados a modo de aplicación. Los resultados teóricos y la prueba empírica impulsan un uso de los estimadores robustos como una alternativa para estimar la estructura de dependencia de procesos Gaussianos.

Propiedades asintóticas de U-procesos en larga memoria

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu y V. A. Reisen.

Artículo publicado en Annals of Statistics, vol. 39, n. 3, p. 1399-1426, 2011. Descargar una versión en pdf.

Sea $$(X_i)_{i\geq1}$$ un proceso Gaussiano de media zero con covarianzas $$\rho(k) = E(X_1X_{k+1})$$ que satisface:
$$\rho(0=1$$ y $$\rho(k)=k^{-D}L(k)$$ donde D está en (0,1) y L es de variaciones lentas en el infinito. Consideremos el U-proceso $$\{U_n(r), r \in I\}$$ definido por
$$U_n(r)=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{1\leq i\neq j \leq n}\mathbb{1}_{\{G(X_i,X_j\leq r\}},$$
donde I es un intervalo incluido en $$\mathbb{R}$$ y G es una función simétrica. En este artículo, proveemos teoremas centrales y no centrales de le límite para $$U_n$$. Se usan para deducir en el marco de la dependencia larga, propiedades nuevas de numerosos estimadores conocidos como el estimador de Hodges- Lehmann, que es un estimador de localización robusto, el estadístico de rango signado de Wilcoxon, la integral de correlación empírica y un estimador de escala robusto asociado. Estos estimadores robustos tienen las mismas distribuciones asintóticas que los estimadores clásicos asociados de escala. Las distribuciones límites se expresan mediante integrales de Wiener-Itô múltiples.

Teorema límite central para integrales múltiples con respecto al proceso empírico

Trabajo conjunto con Eustasio del Barrio. Artículo publicado en Statistics and Probability Letters, vol. 79(2), p. 188-195, enero de 2009. Descargar una version en pdf.

En este artículo, damos resultados de convergencia débil de integrales múltiples con respecto al proceso empírico. Consideramos objetos de tipo
$$J_{n,m}(h)=\int’h(x_1, \dots, x_m)d\mathbb{G}_n(x_1)\dots \mathbb{G}_n(x_m),$$
donde $$h$$ es una función real simétrica, de cuadrado integrable, de m variables. $$X_1, \dots, X_n$$ es una muestra i.i.d. de distribución $$P$$ y $$\mathbb{P}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{X_i}$$ y $$\mathbb{G}_n=\sqrt{n}(\mathbb{P}_n-P)$$ son respectivamente la medida empírica asociada y el proceso empírico. $$\int’$$ es la integral fuera de la diagonal. Incluimos el caso de los núcleos no degenerados con respecto a la distribución subyacente. Nuestros resultados están relacionados con resultados anteriores sobre U-estadísticos. Introducimos una integral estocástica con respecto al puente Browniano que permite expresar el límite de manera unificada independientemente de la degeneración del núcleo. El uso de la integral múltiple con respecto al proceso empírico tiene una gran ventaja con respecto al uso de U-estadísticos: el Teorema Central del Límite obtenido es más simple. No pide la degeneración del núcleo y el límite se expresa de una manera precisa.

Tesis : estudios de potencia para tests relacionados con el estadístico de Wasserstein

Tesis bajo la dirección de Eustasio del Barrio y Fabrice Gamboa, defendida el 16 de julio de 2007 en Valladolid, ante el tribunal compuesto por los Profesores Jean-Marc Azaïs, Bernard Bercu, Eustasio del Barrio, Fabrice Gamboa y Carlos Matrán.
Esta trabajo se compone de tres ejes principales. Tras una introducción general, estudiamos unas propiedades asintóticas de las integrales múltiples con respecto al proceso empírico. La segunda parte está dedicada al estudio de la eficiencia asintótica del test de Wasserstein. La equivalencia del test de Wasserstein con una integral doble con respecto al proceso empírico hace posible el uso de los resultados de la primera parte. Un estudio de simulación completa el estudio de la potencia asintótica. La tercera parte trata las grandes desviaciones de los L-estadísticos. Obtenemos un principio de grandes desviaciones usando la topología de la distancia de Wasserstein en el espacio de las medidas de probabilidad, bajo condiciones de extremos.

Grandes desviaciones para L-estadísticos

Publicado en Statistics and Decisions, 25(2), p. 89-125. Descargar una versión.

El propósito de este artículo es establecer un Principio de Grandes Desviaciones (PGD) funcional para los L-estadísticos, bajo condiciones sobre los extremos de la distribución. El método está basado en el teorema de Sanov y emplea las herramientas habituales de la teoría de grandes desviaciones. Probamos primero un PGD bajo condiciones bastante fuertes sobre los extremos. Tratamos completamente el caso de la distribución uniforme y proveemos un ejemplo en el que la función de tasa se puede calcular de manera muy precisa. Luego, obtenemos un PGD bajo condiciones de extremos más débiles. Tratamos el caso de la distribución exponencial, que no cumple las condiciones de integrabilidad anteriores, con otro método. Damos un PGD funcional basado en el teorema de Gärtner-Ellis. Extendemos nuestro estudio a L-estadísticos normalizados, bajo condiciones de extremos fuertes.