Corta y larga dependencia

Comportamiento en grandes muestras de algunos estimadores robustos en larga memoria

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu y V. A. Reisen.

Artículo publicado en Statistics, vol. 45, n. 1, p. 59–71, 2011.
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Este artículo trata de los estimadores de localización y escala en larga memoria, enfocándose en el estimador de localización de Hodges-Lehmann, el estimador de escala de Shamos-Bickel y el estimador de escala de Rousseeux-Croux. Repasamos las propiedades de estos estimadores para tamaño muestral grande. El artículo incluye simulaciones numéricas para examinar las performancias de los estimadores para muestras finitas.

Estimación robusta de la escala y de la función de autocovarianza de procesos gaussianos en corta y larga memoria

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu y V. A. Reisen.

Artículo publicado en Journal of Time Series Analysis, vol. 32, n. 2, p. 135-156, 2011. Descargar una versión del artículo.

Una propiedad deseable de un estimador de autocovarianza es la robustez a la presencia de datos atípicos aditivos. Es conocido que la autocovarianza muestral, por estar basada en momentos, no tiene esta propiedad. Por tanto, el uso de un estimador de autocovarianza que sea robusto a los datos atípicos aditivos puede ser muy útil para la modelisación de series temporales. En este artículo, las propiedades asintóticas de la escala robusta y de unos estimadores de autocovarianza propuestos en Rousseeuw y Croux (1993) y Ma y Genton (2000) se establecen para procesos Gaussianos en el marco de la dependencia corta y larga. Se muestra que en el marco de la dependencia cortz, el estimador robusto es asintóticamente normal con tasa $$\sqrt{n}$$, donde n es el número de observaciones. Una expresión explícita de la varianza asintótica es dada también y comparada con la varianza asintótica del estimador de autocovarianza clásico. En el marco de la dependencia larga, la distribución límite tiene el mismo comportamiento que el estimador de autocovarianza clásico con un límite Gaussiano y la tasa $$\sqrt{n}$$ cuando el parámetro de Hurst parameter H es inferior a 3/4 y con un límite no Gaussiano perteneciendo al segundo caos de Wiener con tasa dependiendo del parámetro de Hurst cuando $$H\in (3/4, 1)$$. Unos experimentos de Monte Carlo ilustran las proposiciones y los datos del río Nilo son analizados a modo de aplicación. Los resultados teóricos y la prueba empírica impulsan un uso de los estimadores robustos como una alternativa para estimar la estructura de dependencia de procesos Gaussianos.

Propiedades asintóticas de U-procesos en larga memoria

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu y V. A. Reisen.

Artículo publicado en Annals of Statistics, vol. 39, n. 3, p. 1399-1426, 2011. Descargar una versión en pdf.

Sea $$(X_i)_{i\geq1}$$ un proceso Gaussiano de media zero con covarianzas $$\rho(k) = E(X_1X_{k+1})$$ que satisface:
$$\rho(0=1$$ y $$\rho(k)=k^{-D}L(k)$$ donde D está en (0,1) y L es de variaciones lentas en el infinito. Consideremos el U-proceso $$\{U_n(r), r \in I\}$$ definido por
$$U_n(r)=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{1\leq i\neq j \leq n}\mathbb{1}_{\{G(X_i,X_j\leq r\}},$$
donde I es un intervalo incluido en $$\mathbb{R}$$ y G es una función simétrica. En este artículo, proveemos teoremas centrales y no centrales de le límite para $$U_n$$. Se usan para deducir en el marco de la dependencia larga, propiedades nuevas de numerosos estimadores conocidos como el estimador de Hodges- Lehmann, que es un estimador de localización robusto, el estadístico de rango signado de Wilcoxon, la integral de correlación empírica y un estimador de escala robusto asociado. Estos estimadores robustos tienen las mismas distribuciones asintóticas que los estimadores clásicos asociados de escala. Las distribuciones límites se expresan mediante integrales de Wiener-Itô múltiples.