Propriétés asymptotiques de U-processus en longue mémoire

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu and V. A. Reisen.

Article paru dans Annals of Statistics, vol. 39, n. 3, p. 1399-1426, 2011. Télécharger une version.

Soit $$(X_i{)}_{i\ge 1}$$ un processus gaussien centré de covariance $$\rho (k)=E(X_1{X}_{k+1})$$ qui satisfait :
$$\rho (0=1$$ et $$\rho (k)=k^{-D}L(k)$$ où D appartient à (0,1) et L est une fonction à variations lentes à l’infini. Considérons le U-processus $$\{U_n(r),r\in I\}$$ défini par
$$U_n(r)=\frac{1}{n(n-1)}\sum _{1\le i\ne j\le n}{\mathbb{1}}_{\{G(X_i,X_j\le r\}},$$
où I est un intervalle de $$\mathbb{R}$$ et G est une fonction symétrique. Dans cet article, nous donnons des théorèmes de la limite centrale de la limite non centrale pour $$U_n$$. Ils sont utilisés pour déduire dans le cadre de la longue mémoire, de nouvelles propriétés de nombreux estimateurs connus comme l’estimateur de localisation robuste de Hodges-Lehmann, la statistique de rang de Wilcoxon, l’intégrale de corrélation empirique et un estimateur d’échelle associé. On observe que ces estimateurs robustes ont la même distribution asymptotique que les estimateurs de localisation et d’échelle classiques. Les distributions limites sont exprimées en termes d’intégrales de Wiener-Itô multiples.